Основные законы и формулы по теоретической механике. Решение примеров. Экзаменационные вопросы по теоретической механике Радиусом инерции твердого тела называют

Совокупность материальных точек или тел, когда положение или движение каждой точки зависит от положения или движения остальных, называется механической системой .

Внешними называются силы, действующие на части (точки) системы со стороны точек или тел не входящих в систему. Обозначаются как .

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек этой же системы. Обозначаются они как .

Внешние и внутренние силы могут быть активными или реакциями связей, разделение сил на внешние и внутренние условно и зависит от конкретной задачи.

Свойства внутренних сил:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равняется нулю.

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю:

Первое свойство основано на пятой аксиоме статики, то есть каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по величине и противоположно направленная.

Второе свойство внешне похоже на условия равновесия, хотя таковым не является, так как внутренние силы прилагаются к разным точка системы и могут вызвать относительные перемещения.

Движение системы зависит от ее суммарной массы и ее распределения. Каждый точка системы с массой может быть охарактеризована своим радиус-вектором .

Центром масс системы называется точка С радиус-вектор которой определяется по формуле:

где , масса системы равная арифметической сумме масс всех точек системы.

О распределении масс можно судить по положению центра тяжести. Подставляя в формулы координат центра тяжести (7.2.2) ; Р = Мg, получаем

Положение центра масс системы (или центра инерции) в каждый момент времени зависит только от положения и массы каждой точки системы.

Центр масс системы совпадает с их центром тяжести. Понятие центр тяжести применимо к твердым телам, а понятие центр масс - к любым системам точек или тел.

Так как положение центра масс системы характеризует распределение масс не полностью, то вводят еще одну величину - момент инерции .

Моментом инерции системы (тела) относительно оси (осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек (тел) системы на квадраты их расстояний от этой оси.

Пусть это будет ось Oz. Тогда

Осевой момент является мерой инертности системы точек (тел) при вращательном движении, размерность: в системе единиц СИ - .

В выражении через координаты осевой момент инерции J относительно осей запишется:

Радиусом инерции тела относительно оси (Oz), называется линейная величина , определяемая зависимостью

где М - масса тела, - расстояние от оси Oz до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу М тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.

Моменты инерции относительно осей (15.3.1), зависят от выбора этих осей и относительно этих осей разные.

Гюйгенс показал, что, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, можно найти его относительно любой другой оси, ей параллельной (рис. 75 )

Проведем через центр масс С тела оси Cx"y"z", а через точку О - xyz параллельные между собой.

Обозначим расстояние ОС через d. Тогда:

В правой части уравнения (15.3.6) первая сумма является соотношением (15.3.5). вторая сумма - это масса тела М. Так как точка С является центром масс, то из уравнения (15.2.2) получаем

но точка С одновременно является и началом координат, где = 0, то есть третья сумма равна нулю. Итак

Это аналитическое выражение теоремы Гюйгенса: Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

В механике под твердым телом понимают систему материальных точек, расстояние между любыми двумя точками которого в процессе движения остается неизменным. Поэтому все результаты, полученные в предыдущих темах (“Динамика материальной точки”, “Закон сохранения импульса”, “Закон сохранения энергии” и “Закон сохранения момента импульса”) для системы материальных точек, применимы и к твердому телу.

Момент инерции твердого тела

Момент инерции – это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением

где- элементарные массы тела;- их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (1)

где
– масса элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, можно найти момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной. Используя теорему Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы телат на квадрат расстояния между осями :

(2)

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительномомент инерции относительно точки . Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений.

Рассмотрим некоторую точку твердого тела массой и с координатами
относительно прямоугольной системы координат (рис. 1). Квадраты расстояний ее до координатных осей
равны соответственно


а моменты инерции относительно тех же осей

(3)

Сложив эти равенства и просуммировав по всему объему тела

(5)

где
– момент инерции телаотносительно точки.

Из этого выражения можно получить связь между моментами инерции плоского тела, относительно осей
. Пусть масса плоского тела сосредоточена в плоскости
т.е. координаталюбой точки такого тел равна нулю, тогда из

уравнений (3) и (4) следует, что

(6)

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело массой , вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. Для того чтобы получить уравнение, описывающее это движение, применим уравнение моментов относительно оси, полученное в разделе “ Закон сохранения момента импульса”

, (7)

напомним, что в этом уравнении и
– момент импульса и момент силы относительно оси, вокруг которой вращается твердое тело.

Момент импульса некоторой точки тела массой
вращающейся по окружности радиусасо скоростью, равен

Просуммировав по всему объему тела, учитывая, что
получим

Таким образом, момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Подставляя полученное выражение в (7), получим уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

или
(8)

где – угловое ускорение тела.

Найдем кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого просуммируем по всему объему тела кинетические энергии отдельных его частей

(9)

Зная зависимость момента сил, действующих на тело, от угла поворота, можно найти работу этих сил при повороте тела на конечный угол

.

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами
, находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества,
– объемi - го участка, то

,

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а ), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F ,
- точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила;r - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О "; O "B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и(рис.6.2,б ), т.е.
+, где- составляющая, направленная параллельно оси ОО, алежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силыF относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью
. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами
, которые находятся от оси соответственно на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi -участка. Моментом импульса i -участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого
.

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы
инаправлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физическую величину, являющуюся мерой инертности тела, вращающегося вокруг оси называют моментом инерции тела (J) .

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина.

где - массы материальных точек, на которые разбивают тело; на квадраты расстояний от материальной точки до оси вращения.

Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции чаще определяют как:

где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.

Тензор инерции

Совокупность величин:

называют тензором инерции. Диагональные элементы тензора: . Тензор инерции является симметричным.

Пусть все недиагональные элементы тензора равны нулю, не равны нулю только диагональные составляющие. Тогда тензор запишем как:

В таком случае оси тела совпадают с осями координат и являются главными осями инерции. Величины:

называют главными моментами инерции. Тензор в виде (4) приведен у диагональному виду. Моменты инерции, находящиеся вне главной диагонали матрицы (3) называются центробежными. Если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции равны нулю.

Если главные оси проведены через центр масс тела, то они называются центральными главными осями, а тензор центральным тензором.

Главные оси не всегда для тела не всегда легко отыскать. Но иногда достаточно использовать соображения симметрии. Так, в шаре относительно любой точки главные оси можно найти так. Одна из главных осей проходит через центр шара, две другие ориентированы произвольно в плоскости, которая перпендикулярна первой оси.

Составляющие момента инерции сплошного тела относительно осей декартовой системы координат определены как:

где - координаты элемента массы тела (), которая обладает объемом .

Момент инерции твердого тела зависит от формы тела и распределения ассы в теле относительно оси вращения.

Величины, равные:

называют радиусами инерции тела по отношению к соответствующим осям системы координат.

Теорема Штейнера

В некоторых случаях вычисление момента инерции существенно облегчает знание теоремы Штейнера (иногда ее называют теоремой Гюйгенса): Момент инерции тела (J) относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, которая проведена через центр масс рассматриваемого тела (), плюс произведение массы тела (m) на расстояние между осями в квадрате, при условии, если оси параллельны:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определите, чему равен момент инерции однородного цилиндра (J), имеющего радиус R и высоту H, относительно оси Z, которая совпадает с его собственной осью.

Решение

И так ось вращения Z направлена вдоль оси цилиндра, начало системы координат пусть находится на середине высоты рассматриваемого тела (рис.1). Относительно оси Z в декартовой системе координат равен: Так как плотность цилиндра постоянна, то интеграл (1.1) запишем как: где S - площадь сечения цилиндра. Вычислять интеграл (1.2) удобнее всего в цилиндрической системе координат, ось которой направлена по оси Z. Тогда получаем: Используя равенства (1.3) интеграл (1.2) преобразуем к виду:

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину